Parte 1. PROBABILIDAD
Ejercicios :
1. Se lanza un dado y se observa que número de aparece
en la cara superior.
2. Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el
número total de caras obtenidas
3. El ala de un aeroplano se arma con un gran número
de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. Determinar el espacio
muestral.
4. Se fabrican artículos hasta llegar a producir 10
no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. Determinar
el espacio muestral.
5. De una urna que contiene solamente esferas negras,
se toma una esfera y se anota su color. Determinar el espacio muestral.
6. Se fabrican artículos de una línea de producción
y se cuentan el número de artículos defectuosos producidos en 24 hs.
7. En un bolillero hay 20 bolillas blancas y 5 azules:
- calcular la probabilidad de sacar una blanca
- calcular la probabilidad de sacar una azul
- calcular la probabilidad de sacar una blanca o una azul
8. Al arrojar dos dados, uno blanco y uno negro, calcular
la probabilidad de obtener ocho puntos entre los dos.
9. Se lanza una moneda tres veces. Descubrir el espacio
muestral y calcular la posibilidad de sacar tres caras.
10. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de
los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres, tienen los ojos
castaños.
Hallar la probabilidad que una persona tomada al azar, sea hombre
o tenga los ojos castaños.
11. En un bolillero hay 15 bolillas rojas, 6 blancas
y 7 azules. Se quiere se quiere saber cual es la probabilidad al extraer una,
de obtener indistintamente i bolilla roja o una blanca.
12. Si se arrojan dos monedas, calcular la probabilidad
de sacar 2 caras o dos cecas.
13. Dos tiradores hicieron un disparo cada uno. La
probabilidad que el primer tirador haya dado en el blanco es de 0,7, y la del
segundo 0,6.
-Hallar la probabilidad que por lo menos 1
tirador haya dado en el blanco.
14. Se carga una moneda de modo que la probabilidad
de salir cara sea 3 veces la de salir ceca. Hallar la probabilidad de cara
y la probabilidad de ceca.
15. La probabilidad de que A o B ocurran es de 1/8.
La probabilidad de que A ocurra es de 1/2. Mientras que la probabilidad de que
ambos ocurran en forma simultanea no se conoce. Siendo loe eventos no excluyentes
calcular la probabilidad de que A y B ocurran.
16. Una caja contiene 3 monedas : 1 moneda es corriente,
1 moneda tiene 2 caras y la tercer moneda esta cargada de modo que la probabilidad
de obtener cara sea 1/3. Se seleccionara una moneda al azar y se lanzara. Hallar
la probabilidad que salga cara. Utilizar diagrama de árbol.
17. Un tubo de vacío puede provenir de cualquiera de
tres fabricantes con probabilidad: P1=0,25 P2=0,5 P3=0,25. Las probabilidades
de que el tubo funcione correctamente durante un período de tiempo específico
son: 0,1 ; 0,2 ; 0,4. Respectivamente para los 3 fabricantes. Calcular la probabilidad
de que el tubo elegido al azar funcione correctamente.
18. En un establecimiento se fabrican lamparas incandescentes.
El 1º suministra el 70% del total, y el 2º suministra el 30% del total. En
promedio son normales 83 lamparas de cada 100 provenientes de la primera fabrica,
y el 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica. Calcular la
probabilidad de comprar una lampara normal
19. Se arrojan tres monedas equilibradas. ¿cuál es
la probabilidad de que todas sean "caras" si se sabe que la segunda
resulta cara.
20. Se tienen dos fichas o discos de cartón, uno con
las dos caras rojas y otro con 1 cara roja y otra azul. Se saca al azar un disco
y se ve que contiene 1 cara roja. ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara
sea azul?
21. Una urna contiene 5 bolillas rojas, 3 verdes y
7 negras. Siendo eventos excluyentes, calcular la probabilidad de que 1 bolilla
sacada al azar sea roja o verde.
22. Una bolsa A contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas.
Se desea saber las probabilidades de que sean:
- las 2 rojas
- las dos blancas
- 1 roja y 1 blanca
23. Supóngase que A y B son 2 sucesos independientes
asociados con un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurran es de
0,6 mientras que la probabilidad de que A ocurra es de 0,4 determinar la probabilidad
de que B ocurra.
24. En una carrera de automóviles la probabilidad
de que el corredor Nº 6 gane es de 1/8 y la del Nº 14 es de 1/16:
Calcular:
- La probabilidad de que gane la carrera uno de esos corredores
- Calcular la probabilidad de que no gane la carrera el corredor Nº 6
25. Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento
que P(a) = 0,4 mientras que P(A u B) =0,7:
Sea por comodidad P (A u B)=P
Preguntas:
- ¿para que elección de P(b) son Ay B mutuamente excluyentes?
- ¿para que elección de P(b) son Ay B mutuamente independientes?
26. Tres caballos A,B,C, intervienen en una carrera.
A tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y B tiene el doble que C.
¿ Cuales son las respectivas probabilidades de ganar de cada caballo?
27. Sea un dado cargado, tal que la posibilidad de
salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número. Por
ejemplo el 6 tiene el doble de probabilidad que 3.
Sea:
A {número par}
B {número primo}
C {número impar}
- Hallar la probabilidad de cada cara, (número del dado)
- Calcular, P(a), P(b), P(c)
- Hallar las probabilidades de que:
l) Salga número par o primo P( A U B )
ll) Salga numero impar Y primo P(CÙB)
lll) Salga el ebvento A pero no el evento B
28. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra
que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defectos de un
segundo tipo con probabilidad 0,05. Se supone la independencia entre ambos tipos
de defectos . Cual es la probabilidad que:
- Un artículo no tenga ambos tipos de defectos
- Un articulo sea defectuoso
29. Cierto equipo de fútbol, gana con probabilidad
0,6 ;pierde con probabilidad 0,3 ; y empata con probabilidad 0,1. El equipo
juega 3 encuentros durante fin de semana.
- Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos
2 y no pierde; y hallar P(a).
- Determinar los elementos del evento B en que el equippol gana, pierde y
empata y hallar P(b).
30. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad
de que hagan blanco en un disparo es 0,7 y 0,8 respectivamente. Hallar la probabilidad
de que en un disparo haga blanco solo uno de los tiradores
31. En una sala de lectura hay 6 manuales, 3 de los
cuales están encuadernados. Se toman al azar 2 manuales sucesivamente y sin
reposición. Calcular la probabilidad de que ambos estén encuadernados
32. En un bolillero hay 7 bolillas blancas y 12 negras.
Se extraen 2 bolillas sin reposición. Calcular la probabilidad de que la 1º
sea blanca y la segunda sea negra.
33. Para cierta localidad el promedio de días nublados
en junio es de 6. Hallar la probabilidad de que haya 2 días seguidos de buen
tiempo.
34. En un circuito electrónico se conectan en serie
3 elementos que trabajan independientemente uno del otro. Las probabilidades
de falla de cada elemento son: 0,1 - 0,15 - 0,2. Hallar la probabilidad de
que no haya corriente en el circuito.
ACLARACIÓN: Con que un solo elemento, no ande, No va a haber corriente
en el circuito electrónico porque trabajan en serie.
35. Un dispositivo físico contiene 2 elementos que
trabajan independientemente. Las probabilidades de falla de cada elemento son
0,05 y 0,08 respectivamente. Hallar la probabilidad que falle por lo menos uno
de los elementos.
36. Al transportar 25 vasos lisos y 12 vasos de color,
se ha roto 1 vaso de color). Hallar la probabilidad de que el vaso roto sea:
a) de color b) liso
37. Supóngase el caso de lanzar 1 moneda y 1 dado.
Sea el espacio muestral (s) que consta de 12 elementos:
A = expresar explícitamente los siguientes eventos:
A1) { aparecen caras y un numero par}
A2) {aparece un número primo}
A3) { Aparecen caras y numero par}
A4) {aparecen cecas y un numero par}
B= Expresar explícitamente el evento:
B1) Que A o B sucedan
B2) que B y C sucedan
B3) Que solamente B suceda
C) Cuales de los sucesos A, B, C son mutuamente excluyentes.
38. Las probabilidades de que 1 hombre vivirá 10 años
más es de 1/4 y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es de 1/3.
Hallar la probabilidad de que al menos uno (u otro) estará vivo dentro de 10
años.
Resolver por diagrama de árbol:
39. Una urna contiene 7 esferas rojas y 3 esferas blancas.
De la urna se extraen 3 esferas una tras otra. Hallar la probabilidad de que
las 2 primeras sean rojas y la tercera blanca.
40. Supóngase que entre seis pernos , dos son mas cortos
que una longitud específica. Si se toma dos pernos al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que los 2 mas cortos sean los elegidos?
41. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se
sacan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos, y se encuentra que es bueno, ¿ cual
es la probabilidad de que es el segundo también lo sea?
Probabilidad condicional:
42. Para armar la siguiente tabla se han tenido en
cuenta las clasificaciones: N, A, S.
|
sexo |
| calificación
|
Mujer |
Varon |
TOTAL |
| N |
7 |
9 |
16 |
| A |
10 |
8 |
18 |
| S |
2 |
4 |
6 |
| TOTAL |
19 |
21 |
40 |
Si entre los 40 alumnos de dicho curso, se elige 1 al azahar, hallar la probabilidad
de que:
- Haya obtenido A en la evaluación
- Haya obtenido A sabiendo que el alumno elegido es varón.
43. De una lata que contiene 18 galletitas de salvado
y 10 de agua, se extraen 2 galletitas al azar, sucesivamente y sin repetición.
Calcular la probabilidad de que la primera galletita extraída sea de salvado
y la segunda de agua.
44. Un cierto artículo es manufacturado por 3 fabricas,
A-B-C. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda,
y que estas y la tercera producen el mismo numero de artículos. Se sabe también
que el 2% de los artículos producidos por las dos primeras, es defectuoso, mientras
que el 4% de los manufacturados por la 3º es defectuoso. Se colocan juntos todos
los artículos producidos en fila y se toma uno al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que este sea el defectuoso?
45. Se arroja una moneda equilibrada (normal), si
sale cara se elije al azar un numero del 1 al 10, si sale ceca se elige al azar
un numero entero del 6 al 10. ¿cuál es la probabilidad que el numero elegido
sea par?
46. Una oficina tiene 100 máquinas calculadoras . algunas
de estas son eléctricas, mientras que otras son manuales. Además algunas son
nuevas mientras que otras son usadas. Una persona entra a la oficina, toma una
máquina al azar, y descubre que s nueva... ¿cuál es la probabilidad de que sea
eléctrica?
| |
E |
M |
|
| N |
40 |
30 |
70 |
| U |
20 |
10 |
30 |
| |
60 |
40 |
100 |
47. Tomamos las tres cajas siguientes:
Caja1: contiene: 10 lamparas de las cuales son defectuosas
Caja2: contiene 6 lamparas de las cuales 1 es defectuosa
Caja3: contiene 8 lamparas de las cuales 3 son defectuosas.
Tomamos al azar una caja y luego sacamos al azahar una lampara, ¿cuál
es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa?
48. En dos establecimientos se fabrican lamparas incandescentes:
El 1º suministra el 70% y el segundo el 30% de la producción total.
En promedio son normales 83 lamparas sobre 100, provenientes de la
primera fabrica, y 63 de cada 100 lamparas provenientes de la segunda fabrica.
49. En una cierta facultad 25% de los estudiantes perdieron
matemática. El 15% perdieron química y el 10 %perdieron las dos. Se selecciona
un estudiante al azar:
- si perdió química, ¿qué probabilidad hay que también haya perdido matemática?
- ¿Si perdió matemática, cual es la probabilidad que haya perdido química?
- ¿cuál es la probabilidad que haya perdido matemática o química?
50. de un grupo de cinco mujeres y 4 hombres, se seleccionan
sucesivamente y al azar 3 personas. calcular la probabilidad de elegir:
- por lo menos 2 mujeres.
- 2mujeres y 1 hombre
51. En cierta facultad el 25% de los alumnos recursan
matemática, el 15% recursan física, el 10% recursan ambas. Si seleccionamos
un estudiante al azar, cuál es la probabilidad que:
- Recurse matemática si recursa física.
- Recurse física dado que recursa matemática.
52. Para la destrucción de un fuerte, es suficiente
que caiga 1 bomba de aviación.
Hallar la probabilidad de que el fuerte sea destruido, si sobre el
se lanzan 4 bombas con probabilidades de impactos iguales a: 0,3- 0,4- 0,6-
0,7- respectivamente. ¿cuál es la probabilidad que el fuerte sea destruido con
cada una de las bombas?
53. De acuerdo a una investigación realizada en una
determinada ciudad acerca d e mujeres mayores de 20 años se ha comprobado que
entre otras cosas el 68% están casadas, de estas el 40 % trabaja fuera del hogar.
De las que no están casadas, el 72 % trabajan fuera del hogar:
- Que porcentaje de mujeres mayores de 20 años trabaja fuera del hogar.
- Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, ¿cuál es la probabilidad
de que no este casada ni trabaje fuera?
54. Un obrero atiende tres telares. Supongamos que
la posibilidad que los telares no requieran de la atención del obrero en una
hora sea para el primer telar de 0,9, para el segundo de 0,8 y para el tercero
0,85. Se desea saber cual es la probabilidad de que ninguno de los telares reclame
la atención del obrero durante 1 hora.
55. E la fabricación de un cierto articulo se encuentra
que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0,1 y defecto de un
segundo tipo con probabilidad de 0,05. Se supone la independencia entre ambos
tipos de defecto. ¿cuál es la probabilidad de que?
- Un artículo no tenga ambas clases d e defecto.
- Un artículo sea defectuoso.
56. En cierta ciudad, un 40% de la población tiene
cabello castaño, 25% de la población tiene ojos castaños y el 15 % tiene cabellos
y ojos castaños. Se toma al azar a 1 persona:
- Si tiene cabello castaño, cual es la probabilidad de que también tenga
cabellos castaños,
- Si tiene ojos castaños ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos
castaños?
---
Parte 2. ESTADÍSTICA
Ejercicios:
57. Se midió la altura de 133 empleados de una fabrica
cuyos datos se resumen en la siguiente tabla:
| X= altura |
Fi |
X= altura |
Fi |
X= altura |
Fi |
| 158-159 |
1 |
164-165 |
12 |
170-171 |
15 |
| 159-160 |
2 |
165-166 |
6 |
171-172 |
9 |
| 160-161 |
3 |
166-167 |
6 |
172-173 |
7 |
| 161-162 |
4 |
167-168 |
12 |
173-174 |
5 |
| 162-163 |
5 |
168-169 |
14 |
174-175 |
2 |
| 163-164 |
6 |
169-170 |
20 |
175-176 |
1 |
- Realizar un histograma con la distribución de frecuencias para un módulo
igual a 2.
- Idem para un modulo igual a 3.
58. Se entrevistan a 20 mujeres con hijos, registrándose
entre otras características la cantidad de hijos que tiene cada una, los datos
o resultados son los siguientes:
3, 4, 1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3
3, 3, 4, 2, 2, 1, 5, 2, 3, 2
se pide:
- Tabular
- Determinar el modo.
59. Dada esta distribución determinar el modo:
D: 2, 3, 5, 8, 8, 8, 9, 11
¿cuál es el modo?
¿cuál es la frecuencia?
60. Dada la siguiente tabla determinar modo y frecuencia:
| X |
Y |
| 10 - 19 |
5 |
| 20- 29 |
10 |
| 30-39 |
20 |
| 40-49 |
60 |
| 50-59 |
30 |
| 60-69 |
10 |
61. Observando el tipo de alquiler de en 390 viviendas
da la capital federal se ha obtenido la siguiente distribución:
| Tipos de alquiler |
Fi |
| 0-500 |
20 |
| 500-1000 |
140 |
| 1000-1500 |
180 |
| 1500-2000 |
40 |
| 2000-2500 |
10 |
62. En una empresa se realizaron 25 ventas en un día
cuyos montos son:
| 106,1 |
116,9 |
114,4 |
110,4 |
128,9 |
| 116,1 |
101,2 |
103,4 |
111,3 |
118,3 |
| 108,4 |
110,0 |
124,1 |
112,2 |
107,8 |
| 114,8 |
114,7 |
105,8 |
113,9 |
117,4 |
| 122,4 |
115,2 |
119,8 |
111,4 |
110,8 |
- Se pide Calcular el modo. La variable es el monto de ventas.
63. Hallar la frecuencia correspondiente al tercer
intervalo:
| Clases |
F i |
| 4-6 |
4 |
| 6-10 |
5 |
| 10-16 |
? |
| 16-20 |
3 |
| 20-30 |
1 |
64. Cinco compañías de seguro tienen los siguiente coeficientes
de gastos de administración calculados sobre el total de primas recaudadas,
para cada una de ella
Coeficientes de gastos
de administración |
Primas recaudadas
(en miles de pesos) |
| A: 12% |
112 |
| B: 14% |
118 |
| C: 20% |
97 |
| D:18% |
64 |
| E: 16% |
75 |
- Hallar el coeficiente medio de gastos para las 5 compañías.
65. Dada la siguiente tabla calcular modo y media
aritmética
| X |
F (frecuencias) |
| 10 - 19 |
5 |
| 20 - 29 |
10 |
| 30 - 39 |
20 |
| 40 - 49 |
60 |
| 50 - 59 |
30 |
| 60 - 69 |
10 |
66. Un estadista realizó un estudio sobre el promedio
de las edades de los miembros de diversos partidos que fueron dispuestos a la
cámara de los comunes en su primera elección en el período 1918-1935
De los tres partidos estudiados, tomaremos los liberales cuya distribución
de frecuencias relativas se encuentra e indica en el cuadro.
En este caso la variable de investigación fue la edad de los diputados.
Edad
(años) |
PM |
Cantidad
de
diputados Fi |
Pm * f i |
| 21-25 |
23 |
2,6 |
59,8 |
| 26-30 |
28 |
7,7 |
215,6 |
| 31-35 |
33 |
15,3 |
504,9 |
| 36-40 |
38 |
15,0 |
570,9 |
| 41-45 |
43 |
18,1 |
778,3 |
| 46-50 |
48 |
14,3 |
684,4 |
| 51-55 |
53 |
15,3 |
810,9 |
| 56-60 |
58 |
6,6 |
382,9 |
| 61-65 |
63 |
4,2 |
264,6 |
| 66-70 |
68 |
0,3 |
20,4 |
| 71-75 |
73 |
0,3 |
21,9 |
| 76-80 |
78 |
0,3 |
23,4 |
HALLAR:
- media aritmética
- modo
- mediana
67. Utilizar la relación de Pearson para calcular
el modo de la siguiente distribución: D= 3, 3 , 4, 6, 7, 8, 9
68. La siguiente tabla muestra la distribución de
la carga máxima en toneladas cortas, (1 tonelada corta=2000 libras), que soportan
ciertos cables producidos por una compañía. Determinar la media de la carga
máxima.
Máximo
de carga
(toneladas cortas) |
Número
de cables |
| 9,3 - 9,7 |
2 |
| 9,8 -10,2 |
5 |
| 10,3 - 10,7 |
12 |
| 10,8 -11,2 |
17 |
| 11,3 -11,7 |
14 |
| 11,8 -12,2 |
6 |
| 12,3 -12,7 |
3 |
| 12,8 -13,2 |
1 |
| TOTAL |
60 |
69. Hallar media aritmética para los datos de la siguiente
tabla:
| X |
462 |
480 |
498 |
516 |
534 |
552 |
570 |
588 |
606 |
624 |
| F |
98 |
75 |
56 |
42 |
30 |
21 |
15 |
11 |
6 |
2 |
70. La siguiente tabla muestra la distribución de los
diámetros de las cabezas de los remaches fabricados por una compañía. Calcular
el diámetro medio.
| Diámetro
(pulgada) |
Frecuencia |
| 0,7247 - 0,7249 |
2 |
| 0, 7250 - 0,7252 |
6 |
| 0,7253 - 0,7255 |
8 |
| 0,7256 - 0,7255 |
15 |
| 0,7259 - 0,7261 |
42 |
| 0,7262 - 0,7264 |
68 |
| 0,7265 - 0,7267 |
49 |
| 0,7268 - 0,7270 |
25 |
| 0,7271 - 0,7273 |
18 |
| 0,7274 - 0,7276 |
12 |
| 0,7277 - 0,7279 |
4 |
| 0,7280 -0,7282 |
1 |
| TOTAL |
250 |
71. Hallar la media y mediana de los siguientes números:
- 5, 4, 8 , 3, 7, 2, 9
- 18,3 ; 20.6 ; 19.3 ; 22.4 ; 20.2 ; 18.8 ; 19.7 ; 20.0
72. Con la siguiente distribución de frecuencias, donde
la variable es la cantidad de hijos por mujer, calcular el promedío aritmentico
o la cantidad media de hijos por mujer:
| Xi |
Fi |
| 1 |
3 |
| 2 |
4 |
| 3 |
7 |
| 4 |
4 |
| 5 |
2 |
73. Dado el siguiente cuadro donde la variable es
el "monto de venta" en pasos, calcular el promedio aritmético o monto
mínimo por ventas:
| X= monto
de ventas |
Xi |
Fi |
Xi * Fi |
| 100-105 |
102,5 |
3 |
307,5 |
| 105-110 |
107,5 |
4 |
430 |
| 110-115 |
112,5 |
9 |
1012,5 |
| 115-120 |
117,5 |
6 |
705 |
| 120-125 |
122,5 |
2 |
245 |
| 125-130 |
127,5 |
1 |
127,5 |
74. Se ha observado la vida de 84 lamparas de luz
obteniéndose la siguiente distribución:
| Vida en horas |
Número
de bombitas |
| 0-500 |
4 |
| 500-1000 |
8 |
| 1000-1500 |
12 |
| 1500-2000 |
16 |
| 2000-2500 |
20 |
| 2500-3000 |
24 |
- Calcular el modo
- La media aritmética
- Graficar un histograma y un polígono de frecuencia .
75. Calcular la desviación media de las siguientes
observaciones tabuladas
| X |
Xi |
Fi |
| 10-14 |
12 |
2 |
| 15-19 |
17 |
8 |
| 20-24 |
22 |
6 |
| 25-29 |
27 |
12 |
| 30-34 |
32 |
7 |
| 35-39 |
37 |
6 |
| 40-44 |
42 |
4 |
| 45-49 |
47 |
3 |
| 50-54 |
52 |
1 |
| 55-59 |
57 |
1 |
---
Carlos Sanllorenti
Matemático
sanllorenti@arnet.com.ar